2017年湖南大学机械与运载工程学院813高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A ，B 为n 阶方阵. 证明：
①
②
又由
于
是关于x 的首系数为1的n 次多项式，
故
有相同的特征多项式，即
这是关于x 的一个恒等式，故当x=0时也相等. 即
两边取行列式，并由拉普拉斯定理得
同理有
故
，由（7）（8）即得②因为
2． 设A 为数域F 上的
【答案】因为
故其
次项系数相等，从而
证法由于
从而由上知
，
【答案】①证法若A ，B 中有一个可逆，例如，A 可逆，则
矩阵，其秩为r , 试求满足下式的所有矩阵X （给出公式）：所以存在m 阶可逆矩阵P ，n 阶可逆矩阵Q , 使
首先，如即
则有
令
则式（1）等价于所以
其次，由式（2）, 直接验证可知
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这里B 为r 阶方阵.
则
所以，满足 3． 计算
的所有解为
【答案】
按二项式定理展开得
4． 如果A 可逆，证明：AB 与BA 相似.
【答案】
5． 证明：如果
【答案】因此有
由此得即
6． 计算下面的行列式：
（1）
其中
是不等于1的两个3次单位根. 由题设有
故AB 与BA 相似.
那么
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（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】 （1）
（2）（3）原行列式（4）160. （5）（6）0.
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