2017年郑州大学联合培养单位洛阳师范学院915高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 已知矩阵
试求X ，使得【答案】由
则
对分块矩阵
拖行行初等变换
故
2． 已知二次型
（1）求a 的值.
（2）求正交变换X=QY, 将（3）求方程【答案】（1）
的解. 的矩阵
由r （A ）=r（f ）=2, 则
故a=0. （2）因为
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的秩为2.
化为标准形.
故A 的特征值为0, 2（二重）。 解方程组（OE —A ）X=0,
取基础解系（2E —A ）X=0, 取基础解
系
令
单位化得
显
然
’解方程组将之单位化
得
则f 经正交变换X=QY, 化为标准形
（3）由
则
故
注意到Y=Q’X , 故
为自由未知量.
3． 设A 是n 阶方阵，且
（E 是n 阶单位矩阵，
是A 的转置矩阵）
，【答案】解法1:因为
所以
又因为
解法2:因为
所以
由于
所以
4． 计算下列矩阵的秩：
（1）（2）
（3）（4）
（5）
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求
【答案】（1）用初等行变换将矩阵化为阶梯形，这时秩不会改变
.
这阶梯形有4个非零行，秩为4. （2）秩为3. （3）秩为2. （4）秩为3. （5）秩为5. 5． 若向量组
【答案】记
线性无关，讨论
则由
当s 为奇数时，当s 为偶数时，
6． 设A 是数域p 上一个
线性无关，故
线性无关. 线性相关.
矩阵，r （A ）=r, k 是任意整数，满足条件
证明：
阶矩
的线性相关性.
阵B , 使AB=0，且r （A ）+r（B ）=A.
【答案】由题设，方程组AX=0的解空间为n-r 维. 又
从AX=0的一个基础解系中任取k-r 个向量令
则
且
r （A ）+r（B ）=r+（k-r ）=k.
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