2017年中国民航大学航空工程学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 利用魏尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给区间上的一致收敛性：
【答案】（1）
因为
所以
而级数（2）
收敛，从而原级数在
因为
上一致收敛。 所以
而级数（3）
收敛，从而原级数在
由于当
上一致收敛。 时，
故
而级数（4）
收敛，故原级数在上一致收敛。 而级数
收敛（收敛于
）故原级数在
（-10, 10）上一致收敛。
（5）
由于
故
而级数
收敛，从而原级数在
上一致收敛。
2． 求下列欧拉方程的通解：
说明令记则
【答案】（1）令特征方程
为
即原方程的通解为
（2）原方程可改写成令
记
则方程化为
即 ，则
有特征根
方程（2）对应的齐次方程的特征为故方程（2）对应的齐次方程的通解为因
是特征（二重）根。设
或则
即
记则原方程化为
即
有特征
根
故方程（1）有通
解
代入方程（2）中可得A=1，即
即原方程的通解为
（3）令其方程特征为即
即原方程的通解为
（4）令
记
则方程可化为
方程（4）对应的齐次方程的特征方程为解为
因
，比较系数得程（4）
于是方程（4）的通解为即原方程的通解为（5）令
记
则方程化为
方程（5）对应的齐次方程的特征方程为
因
不是特征方程的根，故可令
中，得
（6）令
记
则原方程化为
方程（6）对应的齐次方程的特征方程为
故方程（2）的通解为
记则方程可化为
有根
故方程（3）的通解为
即
有根
故齐次方程的通
是（4）的特解。代入方
即
有根
故齐次方程的通解为
不是特征方程的根，故可令
即
是方程（5）的特解，即即
故原方程的通解为
是
原方程的特解，代入原方程
即
有根
故齐次方程的通解为