2018年北京市培养单位数学与系统科学研究院801高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为常数，则
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.
考虑到 2． 若
则
A.m+n
B.-（m+n） C.n-m D.m-n
【答案】C
都是4维列向量，且4阶行列式=（ ）.
是.
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组
有解矛盾），所以
的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.
从而
是
的一个
矩阵，
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）.
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
3． 设
则由基
是3维向量空间
到基
的一组基,
的过渡矩阵为（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】A
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,
记
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】由已知，有
于是
5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
则（ ）.
则A 与B （ ）.
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
二、分析计算题
6．
复方阵A 称为幂零的, 若有正整数k 使【答案】必要性. 设
是A 的一个特征值,
证明:A 是幕零阵的充要条件是A 的全部特是属于
由于
故
即
等于
（因
）的根全为零）. 由哈
的特征向量. 于是
则
征值皆为零.
充分性.A 的特征值全为零, 故A 的特征多项式密顿-凯莱定理有
即A 是幂零的.
由基
7． 设三维线性空间V 上的线性变换下的矩阵为
（1）求（2）求（3）求
在基在基在基
在
下的矩阵； 下的矩阵，其中下的矩阵. 下的矩阵是
；
【答案】 （1）
（2）在下的矩阵是
（3）在下的矩阵是