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一、分析计算题

1． 设有一个6阶矩阵

其中都是实数，且，试求AE A的不变因子与初等因子，以及A 的若当标准形.

【答案】因为特征矩阵

在的右上角有一个5阶子式等于, 而. 所以

从而的不变因子为

A 的初等因子为

A 的若当标准形为

2． 设

（1）计算

为正定矩阵，其中

分别为m 阶、n 阶对称矩阵，c 为

矩阵.

其中

是否为正定矩阵，并证明你的结论.

（2）利用（I ）的结果判断；

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【答案】 （1）因所以有

（2

）矩阵是正定矩阵

.

合同于矩阵

由（1

）的结果可知，

矩阵

又D 为正定矩

阵，可知M 为正定矩

阵，从而

令

有

即

3． 设

故

为正定矩阵.

对称. 对任意的

其中【答案】

求

4． 设A 、B 均为

【答案】由B 正交知, 推得

正交阵, 且证明:

亦正交. 又

正交, 又正交矩阵的乘积仍是正交,

而A 正交, 所以

必有特征值-1. 从而

所以

. 故有

5． 设A 为n 阶方阵，证明：

（1）

【答案】先证

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显然线性方程组

（2）

的解都是

（3）

的解. 设是,

同解，故

再证

只要证（3）与方程组

（4）

同解

. 显然（3）的解都是（4）. 设故

是（2）的解，即于是

如此进行下去，故式（1）成立. 方法5标准形法将矩阵A 化为等价标准形，其秩等于标准形中1的个

数. 将A 化为若当标准形，由若当块的秩为

从而容易计算出A 的秩. 若A 能够对角化讨论更方便. 例4. 55证明：多项式

的根中有k 个n 次单位根的充要条件是循环矩阵

的秩为

是（4）的解，则是（3）的解. 由（2）与（

3）同解，

是（3）的解，则

若

则

线性无关，

但是此向量组

，即（3）的解都是（2）的解. 由两方程组

个n 维向量，它们线性相关，

矛盾，故

是（2）的解，故（2）与（3）同解，从而

6． 设V 是数域P 上全体n 阶方阵构成的线性空间, A 是V 中的一个取定的矩阵, 定义V 的线性变换为

证明:（1）（2）设

【答案】

（1

）若（2）由

不可逆.

判断

显然

能否对角化. 不可逆. 若

则^

于是

不是单射, 故不可逆. 对于特征值

解方程组

则A 的特征值为