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一、分析计算题

1． 设n 阶行列式

求D 展开式的正项总数.

【答案】由于D 中元素都是±1, 因此D 的展开式中正项总数为P , 负项总数为q ，那么有

由

得

下面计算D ，用第n 行分别加到其它各行得

项中，每一项不是1就是

, 设展开式

将④代入③得

2． 设V 表示数域P 上2级矩阵全体所构成的线性空间, 定义V 的一个变换如下:

（1）证明:

是线性变换；

下的矩阵；

（2）求在基

（3）求的值域A V , 给出它的维数及一组基； （4）求的核N , 给出N 的维数及一组基. 【答案】 （1）令

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则

有

是线性变换. （2）

类似

设在基

下的矩阵为B , 则

（3）令个极大线性无关组,

且

其中

且（4）设

, 则

为值域A V 的一组基.

同解于

其中

为的列向量, 由于秩且为的一

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解之

, 得基础解系为

则

3． 设

且

为核N 的一组基.

，求如下行列式.

【答案】易知

4． 设A 为

证明:【答案】令由上题得而所以 5． 设

是数域K 上n 维空间V 的一基.

也是V 的一基.

也是V 的线性变换. 而且必线性相关, 矛盾. 故

线性无关, 则它也是V 的一基. 从而对任意

矩阵，B 为，

矩阵，

. .

证明:V 的线性变T 可逆的充要条件是【答案】证法Ⅰ 若T 可逆, 则其逆为若不然, 则

反之, 若

必线性无关:因也是V 的一基. 令