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一、分析计算题

1． 设

②若③若由【答案】①

到,

且

则

因此,

W 作成子空间

. 当且仅当

即

由于以

③设 因为由基其中解空间维数是

2． 设A , B 分别为础解系,

是和

矩阵, B 的列向量为的一个基础解系. 令

设BD 的列向量为

证明:

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与是数域K 上n 维空间V 的两个基, 证明:

则

的秩是,, 则W 的维数为

①在此两个基下坐标完全相同的全体向量之集W 是V 的子空间；

的过渡矩阵为C 且

可知, 满足（1

）的全体

为坐标的全体向量之集W 作成

且

到基. 但因为

的过渡矩阵C , 故由（2）得

从而

是

维子空间.

作成

的

（1）

维子空间, 从而

（2）

因此, 相应的一切作成的子空间W 的维数是

且

的一个基

其中【答案】

表示

有

于是

由于为的基础解系, 从而由②式有

由③, ④有

即证反之, 由⑥式有

有

即的解. 于是

由⑥, ⑦两式有

由的任意性, 可得

由⑤, ⑧即证结论. 3． 设

是非齐次线性方程组的一个解，是导出组的一

组基础解系，

【答案】

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⑴令则

线性无关.

其中

证明：（1）设

则

用A 左乘等式两边得由进而

故故（2）由于

线性无关.

或是

（2）已知向量组

的解，或是

的解（

2,

s ）, 则

（1）

代入式（1）注意到

线性无关，

立得

上式右端线性无关，故是组

阶方阵可逆，故向量组

若是

可用

可用

线性表示，故

与的解，则

可用

等价. 由（1）

知

线性表示；若

，

的解，则线性表示，进而也可用

线性表示，总之向量

4． 设线性方程组

（1）

与方程

（2）

有公共解，求的值及所有公共解.

【答案】解法1:因方程组（1）与方程组（2）有公共解，即如下联立方程组（3）有解

（3）

对方程组（3）的增广阵施以初等行变换，有

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