2018年中原工学院理学院806常微分方程考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
判定上述非线性方程组平衡状态的稳定性.
【答案】
上述线性近似方程组的系数矩阵的特征方程为
所以特征值为
不稳定由于具有正实部的特征值，
故非线性微分方程组的平衡状态
2．
解方程
【答案】方法一 给方程两端同乘以2y
得，
即
这可视为以为未知函数的一阶线性方程，
则有
故通积分为
方法二
将方程改写为对称形式，
即
容易观察出是积分因子，
即
为恰当方程，
凑微分得
积分得
故通积分为
3． 解拉格朗日（lagrange
）方程
数.
【答案】
由方程得
令
，并关于x
求导得
其中是连续可微函
当
时上式化为
代入
式得
若
由第一个因式得
则
代入
式得
由第二个因式得
由第三个因式得
代入
即
式得
代入
式得
所以
4． 当a ，b 为何值时，
方程是原方程的通解. 的所有解当
’
时都满足关系
【答案】方程的特征方程为
：
（1）如果特征方程有两个互异的特征值，
即
则特征根分别为：
故方程的通解为
将代入，
得
要使当时
，
即故有
且
解①、②可得
：
（2）如果特征方程的特征值为共轭复根，
即则特征根分别为
：
故方程的通解为
：
要使当
将时
，
即
代入，
得
由于为有限值，
故
且
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