2018年郑州轻工业学院数学与信息科学学院821常微分方程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 求通解：
（1
）
（2
）
（3
）
【答案】（1
）原式变形得
作变量代换
并变形得其中exp 表示指数函数；
这是一个一阶线性微分方程.
可得通解为
变量还原，
得到原问题的通解为
（2
）令
则
将其代入原方程得到
当z=0时，y=C，（C 为任意常数）；
当时，
原式可化简为
（为任意常数）.
变量分离解得
（为任意常数），
从而有
再变量分离得到
故通积分为y=C
或者显然前者满足后者，
因此解为
（3）由已知条件可得，该方程为伯努利微分方程，
且
将代入原微分方程可得
：故令①式是一个一阶线性非齐次微分方程.
先求齐次微分方程
变形得
再求非齐次微分方程①的解.
在②中，令
的解
.
这是一个变量分离方程，两边积分得其解为：将其代入①式可得
故
令
得
故原方程的通解为
：将
代入可得（C 为任意常数）.
2．
求方程的通解.
【答案】
相应的齐次微分方程为
所以特征方程为
即
由于所以是三重根.
故①的通解为
不是特征根，
所以设非齐次方程的特解为
代入原方程，
得
故原方程的解为
3． 求解微分方程组
：
【答案】由题意得相应齐次线性微分方程的系数矩阵为
特征方程为
易得特征值对应的特征向量分别为
所以特征值为
所以方程组的基解矩阵为
故齐次方程的通解为
将①代入非齐次方程组得
所以
因此微分方程组的解为
4． 求微分方程的通解
：
【答案】
令’
方程化为
即
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