2018年沈阳工业大学信息科学与工程学院809线性代数与常微分方程之常微分方程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
试导出方程
充要条件.
【答案】
方程
具有
的积分因子的充要条件是
分别具有形式为
和的积分因子的
即
令
则
即所以①式变为
当且仅当
.
分因子的充要条件为时，
可以解出所以，
方程
具有形为的积
同理，
若令
则
方程
具有
的积分因子的充要条件是
即
当且仅当
所以，
方程
>时，
可以求出的表达式. 具有形为
的积分因子的充要条件为
2． 设n
阶函数矩阵
相同的基本解组，则
【答案】
因为方程组
是基本解矩阵，
则有
在a 试证明若方程组 与有与在（a 力）上有相同的基本解组， 设 所以 与 又是基本解矩阵， 所以 即可逆， 故 3． 求微分方程 【答案】 方程. 的通解. 为隐方程，己解出y. 令 化为 两边对x 求导得 及 即解为 及 其中为任意常数. 有解 即 4． 判断方程的平衡点的稳定性。 和平衡点是方程的常数解，即该方【答案】令方程右端为零， 求得平衡点为 解存在且唯一. 当 程有两个常数解. 由于方程右端函数在全平面上连续可微，则该方程在全平面上任意一点出发的即从上半平面 出发的解随着t 的増加而单调 递增， 即远离 圭 减小， 亦即远离 因此 ，是方程的不稳定的平衡点. 类似地， 当且在其附近出发的解， 单调递减趋于 因此，是方程的稳定的平此时从 邻近且出发的解随着t 的增加而单调对于另一个平衡点当 衡点. 5． 求 【答案】 今 通解为 6． 求的通解. 且在其附近出发的解， 单调递增加趋于方程化为其中c 为任意常数. 的通解. 【答案】方法一不定积分法， 令 则 解为，所以该方程为恰当方程. 从而得方程的通然后寻找二元函数U （x ，y ），使得 U （x , y ）=C. 由全微分的定义有 关于x 积分， 得 所以通解为 方法二 公式法，利用恰当方程求解方法3 中的公式得方程通积分为方法三 分组凑微分法， 去括号重新分组可得 积分， 得原方程的通解为