当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

证明：

对任意【答案】对任意稠密性，可以在

这说明f (x ) 在 2． 设

【答案】由

知

且

又因为

有下界的. 所以，

数列边求极限，得到 3． 设

均为定义在上可积时，g 在【答案】设记由于

有

在

上可积. 存在

令

使当

则当

与

收敛.

令

解得

由

或

知

即

数列

是单调递减

两

则当在

(极限保号性) . 对

上无界.

证明：数列

收敛，且其极限为

任意正数

对任意正数中选取有理数

这样

有f (x ) 在

上无界.

对任意正数M>0, 由有理数的

舍去负根，因此

中有限个点处

处不同，

时，

时，有

上的有界函数. 证明：若仅在上也可积，且在

上的值仅在k 个点

当

时，

所以上式

中至多仅有k 项不为0, 故

这就证明

在

可积，且

第 2 页，共 28 页

4． 应用函数的单调性证明下列不等式：

【答案】(1) 令

则

所以f (x ) 在

(2) 先证明

增. 又因为f (x )

在

则

因此

所以当

(3) 令

则

所以当

时，

由此可得，

时

令

连续，

所以

为了确定

因此h (x )

在于是，g (x ) 在故当

时

则

即

的符号，

令

于是在

内再证

严格递

令

则

连续，

故

连续，

内严格递增.

又因

在

连续，所以当

时

故

内严格递减. 又因h (x )

在内严格递减，又因为g (x ) 在

二、解答题

5． 指出下列函数的间断点并说明其类型：

第 3 页，共 28 页

【答案】（1）f （x

）仅有一个间断点

类间断点.

（2）f （x ）仅有一个间断点x=0。因为

所以x=0是f （x ）的第一类间断点且为跳跃间断点. （3）是

该函数的可去间断点. （4）（5）因为

故

而

于是

为该函数的可去间断点.

其中

因为

而

所以

因为

所以

为第二

其中又因为

所以. （6）当所

以

（7）

为函数的第一类的跳跃间断点.

时，存在有理数列

而都不存在. 所以当

时故

和无理数列

使得

由

于

根据函数极限的归结原

则的第二类间断点

.

是函数的第二类间断点. 为函数

于是

6． 已知反常积分

【答案】注意到

故是函数f （x ）的第一类的跳跃间断点.

1]上一致收敛. 在[0，

收敛，证明含参变量反常积分

第 4 页，共 28 页