2017年厦门大学数学科学学院616数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 利用
【答案】因为
为递増数列的结论，证明
为递增数列，所以
即
从而
所以数列
2． 设
在
(1) 若(2)
若
即
3．
设
则取；
则
因
假设
且
则
故由零点存在定理知，存
在
使
得
是递增数列. 上连续，且
证明则
使，上连续，
因
故
为递增数列.
【答案】
作
是闭区间[a, b]上的连续可导函数.
记
证明
：
是有限集.
无限，则
【答案】用反证法：若但介于
而在某个与x 之间，这与
内亦有
于是当n 充分大时，
中值定理矛盾. 所以
是有限集.
并求
4． 证明对任意自然数n ，方程
【答案】令
连续函数的零点定理知，
又从而
在[0, 1]上存在惟一的零点，即方程
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在区间[0, 1]上总有惟一实根则
.
因此，由
所以.
在[0，1]上单调.
1]上总有惟一实根在区间[0，
在[0, 1]上有零点.
对
两边取极限得
二、解答题
5． 设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为
【答案】设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为因此
考虑
则
所以
由于
，因此
。所以
同理可证
6． 确定常数
【答案】
于是
欲使
为三阶无穷小量，必须有
使当
时
，
为x 的3阶无穷小.
，得到
D 的面积为
为D 内任一点，证明
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解之得
7． 求下列极限：
【答案】
（6）令
（7）令
（8）
所以
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则则当
时，
相当于于是
于是