2017年厦门大学数学科学学院616数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.
【答案】不妨设
若
取
同样，若若
有
且满足因为f (x ) 在由于
2． 设
其中
与
为
上连续函数，证明时，
由各项被积函数及其对x 偏导函数都连续，所以
3． 求证：
(1) (2)
【答案】(1) 已知序列
严格递増，且
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若
若
得证；
取
于是
有
得证；
取
若
如此继续可得闭区间套
且
故有
处连续，故
所以
取满足
于是
于是由闭区间套定理知存在惟一的
【答案】当
又设
再根据
显资
项的平均值不等式，有
联合
与
式即得
(2) 记
由第(1) 小题结论，有
再由第(1) 小题结论，有
即有下界，从而极限 4． 设
【答案】由故
且满足即
求证
：
有下界，又由则
的极限存在，并求出极限值.
存在.
存在，若
由广义极限的四则运算法则，有
由此可见
进一步由极限的四则运算法则，有
即得
即
二、解答题
5． 从等式
出发，计算积分
【答案】
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因为
以
6． 求
【答案】由于
所以
在
内连续，而且由M 判别法知
在
内一致收敛，所
由原函数的连续性，若记
则故
7． 求
型的不定式，都非常复杂，但用等价无穷小量替换可使
【答案】该题无论是化成
型还是问题简化. 因为
所以原极限
8． 求锥面
被柱面
所截部分的曲面面积.
且
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【答案】由于曲面在xy 平面上的投影区域为