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一、证明题

1． 设函数

在

上严格单调増加，求证：函数

也在【答案】

上严格单调増加.

且设

于是

同理可证

2． 设

在

上严格单调增加.

在上一致连g

若

是中的柯西列，则

且

存在正整数

存在

虽然

，

因

当

时有

时有但

因为

在

上严格单调増加，所以

在有限区间上有定义. 证明：

对

设

从而

若

由

即

在上非一致连续，则

. 由

故

中相应的子列

池是柯西列.

【答案】

在上一致连续，则

为柯西列

.

对

有界，因此

是中的柯西列，

则对上述的

中存在收敛子列

也收敛于相同的极限，

从而穿插之后序列亦收敛，即为柯西列，

但其像序列

恒有 3． 设

在

，不是柯西列，矛盾. 所以

上连续，证明

则

使得

则

.

在上一致连续.

【答案】令因

.

在[0, 1]上连续，故记

不妨设

因

在[0, 1]上连续，

故且

时，有

因当

记时，有

则存在正整数从而当

使得当时，有

由(3) 和(7) 知，当

「时，有

综上，即证得

4． 证明级数

【答案】因为所以

当

时，数

列收敛. 因为

而

发散，所以

发散. 故原级数为条件收敛. 条件收敛.

所以该级数为交错级数. 令

单调递减，

且

则

由莱布尼茨判别法知级

数

，

时，有

在[0, 1]上一致连续，

故对上述的正数

当

二、解答题

5． 设V （t ）是曲线

. 在上的弧段绕x 轴旋转所得的体积，试求常数c ，

使

【答案】由旋转体体积公式可得

所以

故

6． 将函数

【答案】记

因为

展开为傅氏级数. 是奇函数，所以

且

即得

7． 求

【答案】

8． 求幂级数

【答案】由于

因此另外

的收敛域

的收敛域及和函数.

所示平面图形绕y 轴旋转所得立体的体积。

又因为

所以C=l.