2017年河南师范大学数学与信息科学学院801高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
的解都是线性方程组
【答案】（C ） 【解析】设即证秩
2． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
的解空间分别为
则
所以
的解，则（ ）。
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
3． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的3个线性无关的解，为任意
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组的两个线性无关的解.
4．
设是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基到
基
【答案】（A ） 5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
二、分析计算题
6． 设
能被【答案】因为再设
都是多项式整除. 证明：每个
且
的所有系数之和都等于零.
的n —1个根为
它们都是n 次单位根，即有
整除g （x ）, 故可设
如果令
并把，则由（6）得
依次代入（7）
这是关于且
亦即
7． 求所有满足条件
互异，故
的一个齐次线性方程组，由于其系数行列式D 是一个范德蒙德行列式从而（8）只有零解，即
得证.
的多项式
得设
由此有
故
a 为常数.
有因式
【答案】在已知等式中，令由因式定理，
所以
将式（1）、式（2）代入已知等式，由消去律得即有无穷多个x , 使不
难验证，对任一常数a ，如上
满足题设要求.
均取同一值a ，所以
8． 设A 是数域K 上的n 阶方阵，又f （x ）与g （x ）为K 上两个互素多项式，证明：n 元齐次线性方程组的直和.
【答案】由于因此，再证
于是得其中
故又若得
9． 求复数域上线性空间V 的线性变换
的特征值与特征向量，已知
在一组基下的矩阵为：
则.
于是
任取
则
都是V 的子空间.
故由
必有
的解空间V 是
的解空间
相关内容
相关标签