2017年黑龙江大学中俄学院(中俄联合研究生院)750高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到
基
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩 2．
设
【答案】（C ） 【解析】设
【答案】（A ）
3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D. 【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
二、分析计算题
6． 证明：如果
【答案】因此有
由此得即
其中
是不等于1的两个3次单位根. 由题设有
那么
7． 设为由全体正实数对运算
作成的实数域R 上的线性空间，R 对普通加法与乘法作成R 上线性空间. 证明：【答案】证法I 任取一个定实数射.
又对任意又因为对任意
即b 是一正实数，令
和
有
因此，一维空间
.
中的零向量是1, 今在
中任取一非零向量a , 即a 是一个非1的正实数，则当
证法II 实数集R （对普通加法与乘法）作成实数域上一维线性空间. 下证
则
则易知
是R 到
的一个映射，且显然是一个单故又是满射，从而为双射.
也作成实数域上
时有
. 即a 在R 上线性无关. 再任取
即
中每个向量都可由a 线性表示. 因此，
即b 为正实数，则
也是实数域上一维空间，即与R 都是实数域
上一维空间， 故
8． 设V 与
（1）试证
同上题，K 是V 的一个子空间. 令是V 的子空间（
则
； 称为K 的正交补）
首先由
又若
（2）试证，如果
【答案】（1）略证. （2）只要证
.
对所有
若K=V，则已得到证明. 现设都成立.
即
于是
知f 在K 上是非
有
则显然有
使
退化的. 又K 是真子空间，由上题证明中的（2）及（3）知，
对任意
从而有
故
9． 求下列曲线的直角坐标方程：
（1）（2）
【答案】（1）把方程写成
（x , y ）是由某代入上述方程组算出的解，当且仅当这对（x , y）使上述联立方程组有某公共根t 0, 也当 且仅当x , y满足下列结式