2017年黑龙江大学信息科学技术学院820高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到
基
【答案】（A ）
2． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知
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使AB=0, 则（ ）
.
由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
时，
所以
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）. A.AB=BA B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B 二、分析计算题 6． 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： （1）134782695； （2）217986354； （3）987654321. 【答案】（1）（2）（3） 7． 设四元线性方程组（I ）为 又某线性方程组（II ）的通解为 第 3 页，共 49 页 是一个偶排列. 是一个偶排列. 是一个偶排列. 求（1）方程组（I ）的基础解系； （2）方程组（I ）与（II ）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解. 【答案】（1）对方程组（I ）的系数矩阵作初等行变换，有 所以方程组（I ）的一般解为 其一个基础解系为 （2）解法1:因为（II ）通解为这里以 为行作系数阵得方程组 其一个基础解系为方程组（II ）可取以 为行作系数矩阵所得方程组： 方程组（I ）、方程组（II ）联立，解得一个基础解系所以全部公共非零解为 k 则有： 解法2:令线性方程组（I ）与方程组（II ）的通解相等得 ’是方程组（II ）的基础解系， 解之得方程组（III ）的一般解为： 从而可得方程组（I ）与方程组（n ）的公共解为 为任意常数. 8． 证明 （1）如果 是正定二次型，那么 第 4 页，共 49 页