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一、计算题

1． 画出下列方程所表示的曲面：

【答案】（1）如图1所示； （2）如图2所示； （3）如图3所示；

图

1 图2 图3

2． 已知齐次线性方

程

的通解。

【答案】由题设知次方程化为标准形

与

都是齐次方程的解，y 1与y 2显然是线性无关的。将非齐则方程的通解为

其中

因

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的通解

为求非齐次线性方

程

故非齐次方程的通解为

3． 判断下列级数的收敛性：

【答案】（1）此级数为公比（2）此级数的部分和

而

即该级数发散。 （3）此级数的一般项级数发散。

（4）此级数为公比（5）此级数的一般项等比级数，而

故

与

的等比级数，因

注意到

故该级数发散。

分别是公比

与

的

有

不满足级数收敛的必要条件，故该

故

的等比技术，因

故该级数收敛。

均收敛，根据收敛级数的性质可知，原级数

收敛。

4． 求下列微分方程的通解：

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【答案】（1）将方程化为

积分得

（2）原方程可化为

故方程的通解为

（3）原方程可表示为

故方程的通解为

（4）原方程为伯努利方程则

且原方程化为

得

3

该方程同除以y 后成为

并令

即

则方程成为

代入

分离变量后有

得原方程的通解

由一阶线性方程的通解公式，得

由一阶线性方程的通解公式，得

令

代入（5）令

即得原方程的通解则

且方程成为

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