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一、选择题

1． 设

又

②

③

与

为空间的两组基, 且

①

则（ ）.

A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令

将①代入④得

由②有

④

即

2． 设A 、B 为满足

A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关

故

的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.

.

D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设

由于性相关. 又由方法2:设

知

，

由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.

由于

所以有

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并记A 各列依次为

从而

线

由于不妨

可推得AB 的第一列

考虑到

即

所以有

故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.

3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，

如

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E所以有

B （E-A ） =E

又C （E-A ）=A故

（B-C ）（E-A ）=E-A

结合E-A 可逆，得B-C=E. 4． 设

则为（ ）.

则3条直线

①

（其中A. B. C. 秩D.

线性相关，

【答案】D 【解析】令其中

秩由秩

. ，可知线性相关 线性无关

）交于一点的充要条件是（ ）

线性无关 则方程组①可改写为

②

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

方程组①有惟一解

方程组②有惟一解

可知1

线性相关，即

可由

线性表出，

从而可由线性表出. 线性相关，故选D.

5． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等

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【答案】B 【解析】比如在

中选三个向量组

，从而否定A , 若选

若选故选B.

, ，从而否定C ,

二、分析计算题

6． 判断下列矩阵是否满秩、可逆？若可逆, 求其逆方阵:

【答案】易知

:降秩；B

满秩且可逆, 其逆方阵为

7． （1）设A 为一个n 级实矩阵, 且一上三角矩阵:

故

满秩, 但不可逆；

证明A 可以分解成其中Q 是正交矩阵, T 是

且并证明这个分解是惟一的；

设为

（2）设A 是n 级正定矩阵, 证明存在一上三角形矩阵T , 使【答案】（1）设A 的n 个列为

将

作施密特正交化, 单位化, 得到一组正交单位向量

并可取

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