2018年宁波大学理学院871高等代数考研核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 为
证明:【答案】令由上题得而所以
2． 已知3阶矩阵A 的特征值为
（2）行列式
设矩阵
，试求:
.
矩阵，B 为，
.
矩阵，
（1）矩阵B 的特征值及其标准形，并说明理由;
为3阶单位阵）.
的特征向量分别为
【答案】 （1）设A 相应于特征值为由于不同特征值的特征向量是线性无关的， 令
，则T 为可逆阵，且
所以
上式说明:B 有特征值（2）由
得
3． 设A , B 为n 阶方阵且矩阵且主对角线上元素为
【答案】由于
从而A 的最小多项式整除
使
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且B 的相似标准形为对角阵
证明:存在可逆方阵P , 使与同时为对角无重根, A 可对角
故A 满足
化且特征根为. 于是存在可逆方阵
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令
, 则由
得
即又由对
可得
从而
同理由上知, 存在可逆方阵
使
其中
令
则可得
.
由此得
为r
阶,
为
阶.
4．
判断下列矩阵是否满秩、可逆？若可逆, 求其逆方阵:
【答案】
易知
:
降秩；B
满秩且可逆, 其逆方阵为
5． 对以下
故
满秩, 但不可逆；
求满足：
【答案】①由辗转相除法得
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故
再由前两个等式整理得
由此得
②解法1待定系数法. 由上题知，可设
将其代入
中，再整理并比较系数可得
解此得因此，
解法2辗转相除法.
由于
故整理后亦可得以上的
6． 设V 是数域P 上线性空间, 证
:
是零函数时,
或是零函数.
皆不为零, 则V 中有向量
于是
类似可得于是
矛盾. 证法2 若
故
但是
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，
又
是
V 上的线性函数, V
到P 的函数使求
【答案】证法1 反证法. 若
皆不为零, 则是V 的真子空间, 于是但