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一、证明题

1． 证明:对黎曼函数

【答案】

有

（当

或1时, 考虑单侧极限）

上的黎曼函数的定义为

对于任意的

满足不等式

的正整数q 只有有限个. 设内只有有限多个既约真分数使得

（若

则当

为既约真分数, 则

取

.

若

使得则当

因而p 也只有有限个. 于是在

时, 有

内不含这有限个既约真分数.

则当

故

2． 证明:函数

【答案】因为由于当

时,

极限不存在, 因而z （x , y ）在点（0, 0）关于x 的偏导数不存在. 同理可证它关于y 的偏导数也不存在.

3． 设函数

（1）当n 为正整数, 且（2）

.

, 且

, 所以

又因为

是以为周期的函数, 所以

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在点（0, 0）连续但偏导数不存在.

所以函数

在点（0, 0）连续.

时, 证明:

【答案】（1）因为

所以当

（2）由（1）知, 当

时,

有

. 时, 有

.

令

4． 设

（1）（2）若

【答案】（1）因为

可得

证明:

则

所以

又因为（2）因

为

于是

因为

所以

所以对

于

所以

存在N , 使得

当

时

,

即

二、解答题

5． 求由下列曲线所围的平面图形面积:

（1）（2）（3）

【答案】（1）令

, 故

从而

x+y=a变换成u=a, x+y=b变换成u=b, y=ax变换成（2）令变换成

即

所以曲面面积为

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变换成

所以图形面积

, 则从而方程

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（3）令当

时,

则

即

从而方程

变换成

, 由图形（如图）的对称性可知图形面积

:

图

6．

求曲线

（a>0, b>0）的全长.

贅

因此

7． 求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量:（1）半径为R 的圆关于其切线的转动惯量:（2）边长为a 和b , 且夹角为妒的平行四边形, 关于底边b 的转动惯量.

【答案】（1）如图1. 设切线为x=R, 其密度为, 对任一点－x. 从而

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【答案】将曲线改写成参数方程, 并计算微弧:

, P 到x=R的距离为R