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一、计算题

1． 设

求

.

【答案】

2． 求下列函数在x>0上的最小值:

（1）

【答案】（1）由

（2）

.

得驻点X=l.因为

所以X=1为函数f （X ）的最小点, 最小值为f （1）=1.或考查

故X=1为函数f （X ）的最小点.

（2）注意到lng （x ）=f（x ）及Ing （x ）与g （x ）有相同的最小点. 利用第（1）小题知g （x ）的最小值为g （1）=e.

3． 求下列函数的高阶导数:

（1）（2）（3）

, 求, 求

, 求

; ;

;

（4）【答案】 （1）（2）

, 求.

.

（3）

,

（4）

由莱布尼茨公式有

,

4． 求下列极限:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）由可得

于是

而（2）当

由迫敛性得时,

于是,

又因为

故由迫敛性得:

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（

3）因为因而有（4）令

所以

于是又因

则有

于是

5．

将直角坐标系下Laplace

方程

【答案】设

则

类似可求

因此

6． 讨论级数

【答案】由

可得和函数

考察

在

上的一致收敛性.

化为极坐标下的形式

.

因为

所以

由此可知,

, 由迫敛性可得