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一、解答题

1． 设a>0, 求曲线

【答案】设数为

对L 求偏导并令它们都等于0得

上的点到xy 平面的最大与最小距离.

为曲线上任一点, 易知z>0, P 到xy 平面的距离d=z, 构造拉格朗日函

解之得

或

因此〔

值点在其中取得.

由于d=z在有界闭集与

上存在最大值与最小值, 因此

）与（

）是

的稳定点, 且所求的条件极

时z=a就是所求曲线上的点到xy 平面的最小与最大距离.

的反函数就是它本身? 此时

要使反函数存在必有

函数

的反函数是

2． 在什么条件下, 函数

【答案】（1

）设

它们是同一函数的充要条件是可见, 当（2）设

时, 当且仅当此时

或

的定义域为

即

时, 它的反函数就是它本身.

要使它的反函数存在, 必须有

它的反函数是

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等式得到成立.

综上所述,

当且仅当

要对除外的一切实数成立. 去分母后, 再比较x 的系数,

由此可知, 当

时, 当且仅当

时也的反函数

时, 它的反函数就是它本身. 另外, 注意到在情形（1）中,

并且

或

时,

函数

就是它本身.

3． 图所示为河道某一截面图. 试由测得数据用抛物线法求截面面积

.

图

【答案】由定积分近似计算抛物线法公式得到

4． 若

的收敛半径为

, 且

收敛, 则

也收敛, 且

【答案】因为

所以

因为

,

且

收敛, 所以

在

上一致收敛, 故在[0, A]上可逐项积分, 因而

因

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, 成立,

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而收敛, 因此

上一致收敛, 由和函数的连续性知

关于A 在

5． 据理说明:在点（0,

1）近旁是否存在连续可微的f （x , y ）和g （x , y ）,

满足f （0, 1）=1, g （0, 1）=﹣1, 且【答案】设

则

（1）F , G 在以P 0（0, 1, 1,

﹣1）为内点的R 内连续； （2）F , G 在R 内具有一阶连续偏导数； （3

）（4）

4

4

由隐函数组定理知, 方程组在P 0附近惟一地确定了在点（0, 1）近旁连续可微的两个二元函数

满足f （0, 1）=1, g （

0, 1）= ﹣1且

二、证明题

6．

设

证明数列

与级数

同时收敛或同时发散

.

的敛散性相同

,

【答案】注意到数列故只需考虑

故若当故若进而

与级数

收敛, 必有时, 有

收敛必有

与

的敛散性与正项级数

司的关系. 因为

收敛；若同时发散；当

收敛, 即有

收敛；若

发散, 则有

发散, 必有

时

发散.

发散,

发散. 所以原数列与原级数同时收敛或同时发散.

7． 证明下列函数在指定区间上的单调性:

（1）（2）（3）

上严格递增; 上严格递増; 上严格递减.

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