2018年华中农业大学食品科技学院314数学(农)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 假设只考虑天气的两种情况:有雨或无雨. 若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为p , 变的概率为
. 设第一天无雨，试求第n 天也无雨的概率.
为“第i 天无雨”，记
则有
所以由全概率公式得
得递推公式
所以
将由此得
2． 有20个灯泡，设每个灯泡的寿命服从指数分布，其平均寿命为25天. 每次用一个灯泡，当使用的灯泡坏了以后立即换上一个新的，求这些灯泡总共可使用450天以上的概率.
【答案】记且
为第个灯泡的寿命（单位:天），
则
由林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为
3． 若事件A 与B 相互独立且互不相容，试求
【答案】由条件知
，所以
.
代入上式可得
，且
【答案】设事件
4． 设随机变量X 的分布函数为
试求X 的概率分布列及【答案】X 的概率分布列为
表
1
5． 如果X 的密度函数为
试求
【答案】因为密度函数P （x ）的图形如图
.
图
因此所求概率为
6． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布
试求X 的特征函数. 【答案】
设
的特征函数为其中
又因为
是相互独立同分布的随机变量，且都服从参数为p
的几何分布
所以X 的特征函数为
7． 一射手单发命中目标的概率为射击进行到命中目标两次为止. 设X 为第一次命中
的联合分布和条件分布.
目标所需的射击次数，Y 为总共进行的射击次数，求数X 服从几何分布
即
【答案】只论命中与不命中的试验是伯努利试验. 在一伯努利试验序列中，首次命中的射击次
其中p 为命中概率，第二次命中目标的射击次数Y 服从负二项分布
由于X 与
相互独立，所以条件分布
从而
的联合分布列为
另一条件分布
注:从以上条件分布列
第一次命中目标的射击次数X 是在前面
8． 设随机变量X 的密度函数为
可知:在已知第二次命中目标的射击次数为y 的条件下，
次射击中等可能的.
即
试求
的数学期望.
【答案】
二、证明题
9． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列，其共同分布为