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一、计算题

1． 求下列函数的微分。

【答案】

（6）

（7）

（8）

（9）

2． 验证函

数

并利用此结果求幂级数

【答案】（1）因为

以上三式相加得

所以函数y （x ）满足微分方程（2）根为

对应的齐次方程因此齐次方程的通解为

设非齐次微分方程的特解为

且非齐次微分方程的通解为

由（1）知，幂级数的和函数y （x ）满足：

解得

于是由微分方程初值问题解的唯一性，可得所求幂级数的和函数为

3． 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是

（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完360m 需要多少时间?

满足微分方

程

的和函数。

的特征方程为

代入方程

得

于是

由此定出上式中的C 1与C 2,

令

, 问

【答案】（l ）设此物体自原点沿横轴正向由静止开始运动, 位移函数为s=s（t ）, 则

于是由假设可知s （0）=0, 故（2）由

, 得

4． 用根值审敛法判定下列级数的收敛性:

其中

【答案】（1）因（2）因（3）因（4）

①当ba时，因

则

故级数收敛。 ，故级数发散。

发散，

又如

均为正数。 故级数收敛。 故级数收敛。 故级数收敛。

, 所求距离为s （3）=27（m ）。

③当b=a时，级数的收敛性不能确定（例如

，

收敛）。

5．

设

为曲线

上相应于t 从0变到1

的曲线弧。把对坐标的曲线积分

化成对弧长的曲线积分。

【答案】方向余弦为

，注意到参数t 由小变到大，因此的切向量的

从而