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一、填空题

1． 设

是由曲面

在

面上的投影区域表示为

的体积

在第一象限部分记为

，由对称性得

其中

。于是

是由

平面上的曲线

围

围成，则

的体积V=_____。

【答案】【解析】

成，见图。于是

2． 微分方程

【答案】

满足

的解为_____。

【解析】

方程的标准形式为

C 为任意常数，再将初始条件

3． 设D 是由曲线

【答案】【解析】

4． 设平面曲线L 为下半圆周

【答案】π

【解析】将曲线方程转化为参数方程：

这是一个齐次型方程，

设

代入可得特解为

得到通解为

与直线x+y=0及y=2所围成的有界区域，则D 的面积为_____。

，则曲线积分_____。

则

5． 设

【答案】4 【解析】由于

，故

6． 由曲线量为_____。

【答案】

绕y 轴旋转一周所得旋转曲面在点

处指向外侧的单位法向

=_____。

【解析】根据曲线绕y 轴形成的旋转曲面的计算方法可计算得到，旋转曲面的方程为

而旋转曲面上任意一点处的切平面的法向量为

其中故在点

将其单位化，得

处曲面指向外侧的法线向量为

7． 设连续函数z=f（x , y ）满足

【答案】2dx-dy 【解析】由已知条件

，则=_____.

可知，当x →0, y →0时有

根据二元函数全微分的定义知，函数z=f（x ，y ）在点（o , 1）处可微，且满足

所以

8． 若数列

收敛，则级数

_____。

【答案】收敛 【解析】级数

的部分和数列为

9． 设

【答案】2011 【解析】级数

的部分和数列为

则

10．在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:

（l ）f （x ）在点x 0可导是f （x ）在点x 0连续的_____条件，f （x ）在点x 0连续是f （x ）在点x 0可导的_____条件。

f （2）（x ）在点x 0的左导数条件。

（3）f （x ）在点x 0可导是f （x ）在点x 0可微的_____条件。 【答案】（1）充分，必要

，则级数的和为_____。

及右导数都存在且相等是f （x ）在点x 0可导的_____