2017年华南师范大学数学科学学院813高等代数(数学)考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20m ，较长的底边和水面相齐。计算闸门的一侧所受的水压力。
【答案】如图建立坐标系，则过A 、B 两点的直线方程为的变化范围为[-20, 0]，对应小区间[y，y+dy]的面积近似值为因此水压力为
，取Y 为积分变量，Y
，γ表示水的密度，
图
2．
设
在
的某邻域内具有三阶连续导数,
如果
, 不妨设时
,
时
时,
为曲线的拐点。
3． 推导余切函数及余割函数的导数公式:
【答案】
4． 求下列幂级数的收敛区间：
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,
而,
试问
是否为拐点? 为什么?
【答案】已知在3>0,
当
, 从而当
凸的, 当
,
由于, 故
在
, 即函数
, 即函数f （x ）在
在
的某个邻域内连续, 因此必存内
在
单调增加。又己
知
内的图形是
内的图形是凹的,
所以点
。
【答案】（1）
因
故收敛半径为（2）
收敛区间为
因
故收敛半径为（3）令因
级数的收敛区间为
（4）令
，原级数成为
由第（3）题知该级数的收敛区间为
因
即
收敛区间为
先讨论级数
的收敛区间。
的收敛区间为
从而原
故收敛半径
故原级数的收敛区间为
5． 利用二重积分的性质估计下列积分的值:
，其中，其中，其中
，其中
【答案】（1）在积分区域D 上，面积等于1，因此
（2）在积分区域D 上，
，从而
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；
；
；
。
，从而
。又D 的
，又D 的面
积等于，因此
（3）在积分区域D 上有，D 的面积等于2，因此
（4）因为在积分区域D 上有又D 的面积等于
，因此
，所以有
6． 已知级数
（1）求出该级数的和 （2）问
取多大，能使当
时，级数的余项
的绝对值小于正数ε
（3）分别讨论级数在区间[0, 1],
在（﹣∞, +∞）上收敛。
，当x=0时，S （0）=0; 当x ≠0时，
该级数的公比为【答案】（1）设该级数的和函数为s （x ）的等比级数，且
故
于是
（2）
当x=0时，
当
时，
则当n>N时，
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取N=1，则当n>N时，就有
，取
（不妨设ε<1）