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一、证明题

1． 设那么

2． 设

证明：若对任何正数

那么

有

设

则a=b.

则

取

因为

【答案】用反证法. 假设

不成立. 这与题设矛盾，故a=b. 在

上三阶可导，证明存在

使得

连续使用柯西中值定理，

【答案】则有使得

即

3． 设

收敛

，

证明

：

的前n

项和

则

对上式两边取极限，从而

即

4． 证明:若L 为平面上封闭曲线，Z 为任意方向向量，则线方向.

【答案】令

的夹角，则有：

分别表示外法线与x 轴正向，与外法线n 以及/与x 轴正向

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【答案】记级数

其中n 为曲线L 的外法

由于

为常数，且

则由格林公式

二、解答题

5． 求级数

【答案】方法一 令

由逐项积分定理得

令

则由(1) 式得

从而即得

于是

容易证明

. 收敛，再根据阿贝尔引理得

方法二 先对原级数进行如下分解:

又由逐项积分定理，

有

再由阿贝尔引理得

联合(2) ，(3) 式得

的和.

，容易求出此幂级数的收敛半径R=l，

且

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6． 验证下列线积分与路径无关，并计算其值：

其中

【答案】(1) 因

所以所给路曲线积分与路径无关，从而

(2) 因

所以所给曲线积分与路径无关，且

由于

7． 计算

【答案】令

则

所以

8． 求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：

求z 对于

，求

【答案】⑴令

的一阶与二阶偏导数；

则

故

故

原方程两边关于y 求偏导数，得

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在球面上。

和

其中

在球面上，所以原式=0

(2) 把z 看成x ，y 的函数，两边对x 求偏导数，得