2018年南开大学数学科学学院847概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，
即对任意的实数
与X 有相同的偏度系数与峰度系数.
【答案】因为
，所以
即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为
所以Y 与X 有相同的峰度系数.
2． 已知随机变量X 和Y 的联合密度函数为
求: （1）常数k ; （2）（3）
（4）
;
,
, 即K=1.
时,
当x , y 属于其他情况时,
, 故得
（3）
（4）（5）因为
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的联合分布函数;
;
（5）问X 与Y 是否相互独立？ 【答案】（1）由得（2）当
则故
3． 设
服从多项分布
x 与y 相互独立.
，其概率函数为:
其中分布，即
其中
并把这一分布记作【答案】因为
. 证明:
的后验概率函数为
所以的后验分布服从Dirichlet 分布
4． 设随机变量X 的密度函数为
如果【答案】由
，求a 和b.
得
又由
得
联立（1）（2），解得a=l/3，b=2.
5． 考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位:mg ）为
设鱼的含汞量服从正态分
布
.
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为参数
，，.
若的先验分布为Dirichlet
，记，
的后验分布为Dirichlet 分布
，其中.
，试检验假
设
【答案】这是在总体方差未知下关于正态分布均值的单侧检验问题， 检验的拒绝域为由样本观测值计算得到
，故在显著性水平0.1下接受原假设.
6． 设随机变量问d 至多为多少？
【答案】⑴
（2）（3）由
多取0.154.
7． 对三种储藏方法的平均含水率在为5,
可采用重复数相等场合的T 法. 若
取
. 所以
. 因而可得如下结论
，认为认为，认为
由此可见，在显著性水平0.05下，法有显著差别.
8． 设随机变量X 的分布律为
【答案】由题意知, 当当当当
时,
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，当0.10时，查表知，
，（1）求；（2）求；（3）设d 满足
，
查表得，由此解 得
，故d 至
下作多重比较.
【答案】由于储藏方法因子是显著的，因此可以作多重比较. 此处各水平下试验次数相同，均
，则查表
知
，
而
有显著差别；
无显著差别；
有显著差别.
之间都有显著差异，
之间无显著差别，而它们与
即第一种储藏方法与第三种储藏方法对粮食的含水率方面差别不明显，它们与第二种储藏方
求它的分布函数
时,
时, 时,