2017年曲阜师范大学工学院764高等代数B(只含线性代数)考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 证明：每一个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的直和.
【
答
案
】
取
此
空
间
V
的故
的直和.
2． 证明：非零实二次型f 可分解成两个实系数一次齐式相乘差是0.
【答案】设若
成比例，设
则可对f 施行以下满秩线性代换
一
组
基又
显
然维
是n 个一维子空间
的秩是1或f 的秩是2且符号
化成若
由于
故因此，此时f 的秩是1.
不成比例，
不妨设
与
不成比例，从而
则
此时可对f 连续施行以下两个满秩线性代换
得故此时f 的秩为2且符号差为0.
由于
的线性组合，故可知f 可分解为两个实系数一次齐式相乘.
反之，若f 的秩为1，则f 可通过实满秩线性代换X=PY
化为正规形
若f 的秩为2且符号差为0，则f 可通过实满秩线性代换X=CY化为
但由之积.
知，
都是
的线性组合，从而可知f 是
的两个一次齐式
3． 求矩阵X. 设
（1）
（2）
（3）
（4）【答案】（1）
得
（2）
（3）
（4）
4． 计算行列式
【答案】解法I 第行都乘-1加到第1行，得
解法II 先从第列提出公因子，然后各列都乘-1加到第一列，即
5． 设成立.
【答案】
因
且
求的向量.
6． 设
非平凡，
故有
考察
由
矛盾.
同样由
>
则
可得若有
否
则
故
则已完成证明.
若
则是所要
是线性空间V 的两个非平凡的子空间，证明：在V 中存在使
同时
是线性空间V 的s 个非平凡的子空间，证明：V
中至少有一向量不属于
中任何一个.
【答案】对子空间的数目n 作归纳法. 当n=l时显然成立. 设n=s-1时题目的结论成立. 当n=s时.
取
考
察
任
意
易得则
7． 求出通过点
【答案】设此二次曲线方程为把5个点分别代入，得
又由归纳假设有
若
则任何其
他
矛盾，故对于任一
于是对任意
有
使
最多仅有一个值
不能同时属于
否则
由
取
及
使
完成了归纳法.
的二次曲线的方程.