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一、证明题

1． 证明：若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，g (x ，y ) 在D 上可积且不变号，则存在一点使 得

【答案】不妨设

令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值，从而

若若

则由上式•则必大于0, 于是

由介值性定理，存在

使得

即

2． 证明：若正项级数

收敛，且数列

单调，则

又由从而又从而

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于是任取即可.

存在N , 当n>N时，有

故

【答案】因为正项级数

单调可知

收敛. 故由柯西收敛准则，任意的正数

发散) ，从而

必单调递减(否则级数

故

3． 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集

(1) . (2)

【答案】(1) 对任意的

因此

对于任意正

数

，故

(2) 同理可证.

. 存

在

即

存在

是A+B的一个上界.

使

得

使得c=a+b, 则设

证明：

于是并

且

于是

，

二、解答题

4． 利用定积分求下列极限：

【答案】⑴

因为

所以

故

（2）

当

时，

所以

从而

当当

时，

时，

即

所以所以

（3）因为

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而

由迫敛性知

5． 按函数作图步骤，作下列函数图像：

【答案】（1）函数下几点

：

由

得

表

1

的定义域为

容易求得曲线与坐标轴交于以

由

得稳定

点

函数图形如图1所示。

图1

（2）函数

的定义域为

由

得由

知，

曲线有垂直渐近线

由

支n ，曲线有水平渐近线

得

曲线与坐标轴交于点

由

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