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一、证明题

1． 设在

上可积. 证明：

对右边第一个积分作代换

于是

(1)

若(2)

若 2． 依次取

由

在

为奇函数，则为偶函数，则

故

故

则得

(1) 若为奇函数，则(2) 若为偶函数，则【答案】因为

上有定义且在每一点有极限，证明:f (x ) 在[a，b]上有界.

使得

则得到数列

记

【答案】反证法. 若f (x ) 在[a, b]上无上界，则对任意正整数n ，存在由致密性定理知，存在收敛子列

的选取方法有

处存在极限矛盾. 故f (x ) 在[a, b]上有界.

这与f (x ) 在

3． 证明下列函数在指定区间上的单调性：

⑴⑵(3

)

在在在

上严格递増；

上严格递增； 上严格递减.

那么，

即

故(2)

设由

在

上严格递增.

那么，

可得

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【答案】(1) 设

于是

递增.

(3

)

则

由此可得

即

故

在上严格

所以

那么，

故

在

上严格递减.

二、解答题

4．

设

是区

域

上的有界k 次齐次函

数

问极

限

是否存在? 若存在，试求其值

【答案】令

5． 求下列函数带佩亚诺型余项的麦克劳林公式：

到含的项；

到含的项.

【答案】

因此

带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为

由于

是区域上的有界k 次齐次函数，

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故

于是

故有

于是

6． 设

【答案】当所以

又根据定义得

所以

7． 设

【答案】对方程组

关于x 求导得

解之得

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求

时，

试求