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一、选择题

1． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】

3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】

则线性方程组（ ）•

时，

由AB=0, 用

右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

使AB=0, 则（ ）

.

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

4． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1

则当（ ）时，此时二次型为正定二

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

所以f 为正定的.

5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则也不是线性变换，

比如给

二、分析计算题

6． 求作一个一元多项式，使它的各根分别等予

【答案】方法1令

即

则

故多项式

为所求.

的方幂的和，由综合除法直接计算得

令

则

为所求.

7． 设A 是n 级实对称矩阵. 证明:存在一正实数c 使对任一实n 维向量X 都有

【答案】根据本章习题10, 有正实数是正定矩阵，因此有正实数c 使

.

都是正定矩阵.

于是对任一个n 维实向量X ，都有

因此

从而有

8． 问：何时n 阶方阵A 的若尔当标准形与有理标准形相同？

【答案】此两个标准形相同的充要条件是，存在正整数m 使设

即A 的特征根全为0. 于是

的不变因子只能是

从而次数大于零的不变因子和初等因子为相同，都是

由此知A 的若尔当标准形与有理标准形相同. 反之，设A 的这两个标准形相同，即

则

即

的各根减1.

方法2将f （x ）表示成

使

即A 的特征根全为零.

因此，A 的属亍的若尔当块和伴侣矩阵