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一、选择题

1． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

的两个不同解，

是

的基础解系，

为任意常数，

的解，则（ ）。

则

所以

即证秩 2． 设

【答案】（C ） 【解析】设

是非齐次线性方程组

则Ax=b的通解为（ ）•

【答案】B 【解析】因为中

不一定线性无关. 而

由于故 3． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令

由②有

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所以

因此

不是

的特解，从而否定A , C.但D

因此

是

线性无关，且都是

知

的解. 是

的特解，因此选B.

的基础解系. 又由

为空间的两组基，且

将①代入④得

即 4． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

则A 与B （ ）.

使

且由①式得

因此A 与B 合同.

5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

二、分析计算题

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6． 设实数域上的矩阵

（1）求A 的特征多项式（2）

是否为实数域上不可约多项式；

（3）求A 的最小多项式，要求写出理由. 【答案】⑴（2）所以

的二次多项式不可约，

为实数域R 上3次多项式，因实数域上只有一次和判别式

中，子式

在实数域上可约. （3）在A 的特征矩阵

所以

因此

7． 设A 是数域p 上一个

此即为A 的最小多项式.

矩阵，r （A ）=r, k 是任意整数，满足条件

证明：

阶矩

阵B , 使AB=0，且r （A ）+r（B ）=A.

【答案】由题设，方程组AX=0的解空间为n-r 维. 又

从AX=0的一个基础解系中任取k-r 个向量令

则

且

r （A ）+r（B ）=r+（k-r ）=k.

8． 设A 为n 阶矩阵，I 为n 阶单位矩阵，且

（1）（2）所以

和B 相似.

【答案】（1）方法1由于

可逆.

证明：

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