2017年中国传媒大学理学院726数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f (x ) 在区间[a, b]上满足
其中
为常数，证明：f (x ) 在[a，b]上恒为常数.
【答案】由条件可得
固定x ，令
由两边夹法则
此即有
因此
在
上恒为常数.
二、解答题
2． 设
【答案】
3． 求曲面方程为
即
法线方程为
即
在点
处的切平面方程和法线方程.
所以切平面
【答案】由于z 在(1，1) 处可微，从而切平面存在. 因为
为单位球面
计算曲面积分
4． 求曲线
【答案】曲线质量为
的质量，设其线密度为.
5． 图所示为河道某一截面图. 试由测得数据用抛物线法求截面面积。
图
【答案】由定积分近似计算抛物线法公式得到
6． 判别下列级数的敛散性：
(1) (3) (5) (7) 【答案】(1) (2) 因为而级数(3) 因为
所以(4) 因为
(2)
(4) (6)
所以级数，又因为
收敛，所以级数
_收敛.
发散.
收敛.
所以(5) 因为
收敛.
所以(6) 设
所以又因为(7) 因为
当当x=l时当x>l时，
因此，由比式判别法可知，正项级数
7． 求极限：
【答案】（1）因为X ，sinx ，cosx 都是R 上的连续函数，所以当的连续点. 于是
（2）该函数在x=l处为右连续，于是
8． 设
是有界闭集
，
是D 上的连续函数. 证明：
在D 上有界，且一定取到最
-时，x 是
时
在
时收敛.
发散. 则
，
当
. 时，有
收敛.
即
，因此
收敛，由比较判别法得
大值和最小值.
【答案】①若f 无界，
则
这与已知条件矛盾，所以
②
由确界原理，知
存在，即
在D 上有界，用反证法来证明：
所以由连续性，
在D 上有界.
在D 上一定取到最大值和最小值. 用确界原理来证明.