2017年中国传媒大学理学院726数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：对连续函数f (x ) 有
【答案】令
由于
所以
二、解答题
2． 试确定的值，使下列函数与当
【答案】（1）因为
所以，当（2）因为当所以，当
（3）
于是，当
时，
与当
时为同阶无穷大量.
3． 求下列幂级数的收敛半径，并讨论区间端点的收敛性：
【答案】⑴
时时，
时，
与
当
时为同阶无穷大量.
与当
时为同阶无穷大量：
时为同阶无穷大量.
在端点. 处，级数为因为使得
又在端点
所以在端点处，级数为
处原级数收敛.
因为
所以在端点(2
)
处原级数绝对收敛.
在端点
处，级数为
因为
所以级数的一般项不趋于零，从而在端点
处原级数发散. 同理在端点
处，原级数发
散.
4． 利用已知函数的幂级数展开式，求下列函数在x=0处的幂级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间
.
【答案】(1) 由(2)
由
可知
(3) 由
可得当
时，
(4
)
可得
可知
(5) 因为
所以
时，
(6
)
因为
所以
时
(7) 因为所以
(8)
由
得
(9
) 而
所以
时，由莱布尼茨判别法可得级数收敛) .
5． 求函数
的傅里叶级数并讨论其收敛性.
【答案】因为延拓函数为按段光滑的偶函数，故