2018年辽宁师范大学数学学院数学系850数学分析[专业硕士]考研仿真模拟五套题
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一、证明题
1． 设曲面z=f （x , y ）二次可微, 且充要条件是:
【答案】
为一条直线即由f （x , y ）=0所确定的隐函数y=y（x ）在xOy 平面上
, 而
. 故
由此可见, 命题成立.
2． 定义双曲函数如下:
双曲正弦函数
双曲余切函数
证明:
【答案】（1）（2）（3）
（4）
3． 证明级数
【答案】由微分中值定理, 有
从而
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. 证明:对任给的常数c , f（x , y ） =c为一条直线的
表示一条直线. 显然, y=y （x ）是一条直线<=>
双曲余弦函数
双曲正切函数
收敛, 并且其和小于1.
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又
所以级数收敛, 并且其和小于1.
4． 设
在
上二次连续可微
,
且
,
证明:
其中
【答案】由Taylor. 展开式知
取代入①得到
对②积分得到
从而有
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①
②
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5． 设, , 定义函数
证明:函数f （x , y ）在D 上可积, 且
【答案】因为f （x , y）在D 上的不连续点都分布在线段y=x （件知f （x , y ）在D 上可积. 对D 的任一分法T , T 将D 分成n 个小区域别为和为
于是
6． 试用聚点定理证明柯西收敛准则.
【答案】
有
于是
设数列
满足柯西收敛准则的条件. 如果集合
只含有有限多个不同的实数, 则从某一
的极限.
如果集合
至少
都含
矛盾.
故
的聚点,
所以存在与
设
丨收敛, 令
于是, 对任给的
, 存在正整数N , 使得当n ,
时,
,
在
上任取一点
. ,
则
）上, 由可积的充分条
, 它们的面积分
, 其积分
项起这个数列的项为常数, 否则柯西条件不会成立. 此时,
这个常数就是数列有一个聚点.
假如
有集合
有两个不等的聚点
,
不妨设
,
令
, 则时, 有,
又因为
是
故数列
收敛于
含有无限多个不同的实数, 则由柯西条件容易得知它是有界的. 于是由聚点定理, 集合
中无限多个点.
这与取
, 存在正整数N , 当n
,
时
,
的聚点是惟一的, 记之为
对于任意, 使得
, 存在N , 使得当n
,
因而, 当
时,
二、解答题
7． 周长一定的等腰三角形中, 腰与底成何比例时, 它绕底边旋转所得旋转体的体积最大？
【答案】设周长为, 腰长为X , 底长为2y , 则有
于是, 旋转体体积为
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, 即. 等腰三角形绕底边旋
, 底面半
径为
转所得旋转体是由这样两个同样的圆锥组成的, 其中每个圆锥高
为
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