2018年上海财经大学统计与管理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算与分析题
1． 设
【答案】因为在离散场合，当值时，
时，
存在，试证:
是随机变量Y 的函数，记以概率
取
它仍是随机变量. 由于在Y 取固定
上式对Y 的任一取值都成立，即一般场合有 2． 假设X 是任意总体
, 是样本均值, 记
求: （1）
（2）
【答案】 （1）由于
；
.
独立同分布, 则
,
而且
, 可得
（2）
3． 假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为
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也是常数，故有
在连续场合也有类似解释，所以在
和
.
存在,
是来自X 的简单随机样本,
诸观测值相互独立.
（1）写出的最小二乘估计，和
的无偏估计；
. ，则正规方程为
（2）对给定的，其对应的因变量均值的估计为，求【答案】 （1）由最小乘法原理，令
从中解得届的最小二乘估计为不难看出
于是，由
*
有
将
写成
的线性组合，利用
与
间的独立性，有
由此即有
:，从而
这给出
的无偏估计为
，于是
4． 将n 个编号为1至n 的球放入n 个编号为1至n 的盒子中，每个盒子只能放一个球，
记
【答案】这是一个配对模型, 有
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（2）对给定的. 对应的因变量均值的估计为
试证明:
所以由切比雪夫不等式，任对
即 5． 若
试证
为从分布族
为充分统计量.
中抽取的简单样本，
【答案】样本X 的联合密度函数为
由因子分解定理知，
为充分统计量.
6． 为了研宄某种金属管防腐蚀的功能, 考虑了4种不同的涂料涂层, 将金属管埋设在3种不同性质的土壤中, 经历了一定时间, 测得金属管腐蚀的最大深度如下表所示（以mm 计）:
表
1
试取显著性水平a=0.05检验在不同涂层下腐蚀的最大深度的平均值有无显著差异, 在不同土壤下腐蚀的最大深度的平均值有无显著差异, 设两因素间没有交互作用效应.
【答案】本题是双因素无交叉作用的方差分析问题, 需要在显著性水平a=0.05下, 检验假设
不全为0,
不全为0.
由己知得
,
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,