2018年上海财经大学统计与管理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为独立随机变量序列，且
证明:
服从大数定律.
相互独立，且
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
2． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
3． 证明:若
则对
有
由此可得马尔可夫条件
【答案】因为
并由此写出
与
其
中
【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示
为
且U 与V 独立，从而有
由于
将两者代回可知，在
时，若r 为奇数，则
若r 为偶数，则
证明完成. 进一步，当当
时，
证明:当
4． 设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
展开为级数形式，可得
所以
而
正是
的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛则由X 的特征函
数
可
得
时，
（此时要求（此时要求
否则均值不存在）， 否则方差不存在）.
按分布收敛于标准正态
时，随机变量
的方法知结论成立.
5． 设随机变量X
服从参数为的泊松分布，试证明
:
【答案】
由此得
.
利用此结果计算
6． 设
证明【答案】
诸
是充分统计量. 的联合密度函数为
独立，是已知常数，
注意到
是已知常数，令
取
由因子分解定理，
7． 设
证明:
为独立随机变量序列，且
服从大数定律.
相互独立，且
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
8． 设总体为
证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到则
由于
故
是的充分统计量.
【答案】因为所以
服从大数定律.
为样本，
都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得
是的无偏估计，且
的均值与方差，
令
因而
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