2018年上海财经大学统计与管理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为一独立同分布的随机变量序列，已知
近似服从正态分布，并指出此正态分布的参数.
【答案】因为
为独立同分布的随机变量序列，所以
也是独立同分布的随机变量序列.
试证明:当n 充分大时
，
根据林德伯格-莱维中心极限定理知，近似服从正态分布，其参数为
2． 设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在. 证明:
【答案】
3． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布
试证明:【答案】设
相互独立. 则
所以
. 由此得
和
的联合密度为
所以
可分离变量，即U 与V 相互独立.
4． 设和方差,
（2）当
是来自总体x 的简单随机样本,
, 证明:
相互独立知,
也相互独立,
所以
时,
分别为样本的均值
（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时, 【答案】 （1）由由于X 的概率密度为
所以
由此证得（2）由
由于
, 所以
知从而将①, ②代入
可得
① ②
与
相互独立知,
与
也相互独立, 从而
①此外, 由
从而得到目的最大似然估计量为
5． 设随机变量X
服从参数为的泊松分布，试证明
:
【答案】
由此得
.
利用此结果计算
6． 设总体X 服从于证明：
【答案】由X 服从又则
又故 即证
是
的无偏估计量.
是其样本，，证明
:
是的充分统计量，则
. 这说明，在均方误差准则下，
7． 设总体概率函数是对
的任一估计
令
人们只需要考虑基于充分统计量的估计.
【答案】我们将均方误差作如下分解
注意到
，这说明
于是
因而
8． 证明公式
【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出
而对
, 且分布、是
的无偏估计置.
其中分布可知, 是
的无偏估计量
为总体的样本,
.