2018年浙江财经大学数学与统计学院892概率论之概率论与数理统计教程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年. 制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元，而调换一台设备制造厂需花费300元. 试求每台设备的平均利润.
【答案】令
即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然
1，其中
因为每台设备的利润为
2． 设曲线函数形式为出；若不能，说明理由.
【答案】能. 令
3． 设X 与Y 的联合密度函数为数.
【答案】当0 的交集为图阴影部分，所以 试求Z=X—Y 的密度函 ，则变换后的函数形式为 . , 所以每台设备的平均利润为 ，问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，试给 图 在区间（0，1）外的z 有 只，求下列事件的概率. 4． 箱子里有n 双不同尺码的鞋子，从中任取 （1）（3） =“没有一双成对的鞋”； =“恰有二对鞋子”: 个等可能的样本点，这是分母，下面分别求各事件所含的 （2）=“只有一对鞋子”: （4）=“有r 对鞋子”. 【答案】该问题中样本空间含有样本点数. （1）要使，发生，可分两步走，先从n 双鞋子中任取2r 双，再从抽取的2r 双鞋子各抽取一只，故 中的样本点个数为 ，由此得 （2）要使 发生，先从n 双鞋子中任取1双，再从余下的n -l 双鞋子中取出2（r -l ）双，最 中的样本点个数为 （3）仿（2）思路， 中的样本点个数为 ，由此得 ，由此得 后从取出的2（r -l ）双中各取一只，故 （4）因为中所含样本点个数为，所以得 譬如，取n =5，r =2，可以得 5． 设从均值为n ，方差为常数a , b 使 【答案】由于 达到最小. 和 是容量分别为 和 的两独立样本的均值，故 的总体中，分别抽取容量为 和的两独立样本， 都是 和分别 是这两个样本的均值. 试证， 对于任意常数的无偏估计，并确定 因而 这证明了又由 知， 是的无偏估计. 从而 由求导知，当时，达到最小，此时 这个结果表明，来自同一总体的两个容量为均值 是线性无偏估计类 和的样本的合样本（样本量为 中方差最小的. ）的 6． 一个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n 次游动后，质点回到出发点的概率. 【答案】因为每次都等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，所以经过2n 次游动后，样本空间中共有 设所求事件为2n 次， 此种样本点共有 当k 从0到n 累加起来就得事件 所含样本点总数 个， ，它为 由此得所求概率为 可算得: 7． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一件，试求取到三级品的概率. 【答案】设取到三级品的概率为P ，则取到二级品的概率为2p ，取到一级品的概率为6p , 由6p +2p +P=1，解得 个样本点. ，事件 发生要求（1）上下游动次数相等；（2）左右游动次数相等， 否则不可能回到出发点，若上、下游动各k 次，那么左、右游动只能各n -k 次，这样共游动 二、证明题