2018年浙江财经大学数学与统计学院892概率论之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设总体密度函数为
【答案】对数密度函数为
，
，求的费希尔信息量
，于是
»
由此给出
2． 设曲线函数形式为
【答案】令
.
试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式. ，则原曲线函数化为
，即为一元线性回归的形式.
.
3． 有两个班级同时上一门课，甲班有25人，乙班有64人. 该门课程期末考试平均成绩为78分，标准差为14分. 试问:甲班的平均成绩超过80分的概率大、还是乙班的平均成绩超过80分的概率大？
【答案】
记
因为
甲班平均成绩超过80分的概率为
同理可计算乙班平均成绩超过80分的概率为
所以甲班的平均成绩超过80分的概率大.
4． 设随机变量序列
试证:【答案】已知则
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为甲班第i 个学生的成绩
，
为乙班第个学生的成绩
，
所以由林德伯格-莱维中心极限定理，
独立同分布，数学期望、方差均存在，且
记
令
对任意的
由切比雪夫不等式得
即
结论得证.
5． 将一枚硬币投掷三次, 以X 表示三次中出现正面的次数, 以Y 表示三次中出现正次数与出现背面次数之差的绝对值, 试写出X 与Y 的联合分布律与边缘分布律.
【答案】由题意:X 可能取值为
的可能取值为1, 3; 则
即得X 和Y 的联合分布与边缘分布为
表
1
6． 设
是独立同分布的随机变量，其共同的密度函数为
试求【答案】先求所以当这是贝塔分布
的密度函数、数学期望和方差.
的分布函数. 当时，Y 的密度函数为
由此得
时，
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7． 设二维随机变量（x , y ）在边长为2, 中心为（0, 0）的正方形区域内服从均匀分布，
试求
.
【答案】记
因为（x , y ）服从D 上的均匀分布，且D 的面积
，G 的面积
所以所求概率为
二、证明题
8． 设
证明: （1）（2）
【答案】（1）由下界，
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布
的密度函数p （x ）的对数是
由此得
的费希尔信息量
从而
的无偏估计的C-R 下界为
无偏估计的方差相等，故此
是
，
的有效估计.
是
的有效估计；
是的无偏估计，但不是有效估计. 知
. 为了获得
的元偏估计的C-R
是来自正态总体
的一个样本，若均值已知，
此下界与上述（2）由于
可见，
，即是的无偏估计，其方差为
为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于
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