2017年黑龙江大学概率论与数理统计(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b ，c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率.
【答案】任意投掷此三角形，该三角形与平行线相交有以下三种情况：三角形的一个顶点在平行线上、一条边与平行线重合、两条边与平行线相交，由确定概率的几何方法知：前两种情况出现的概率为零，所以只要去确定两条边与平行线相交的概率，为此记ab ，ac ，be 与平行线相交的概率，则所求概率为
为求知
因为三角形的边a 与平行线相交意味着：ab 与平行线相交，或ac 与平行线相交；b 与平行线相交意味着：ab 与平行线相交，或be 与平行线相交；c 与平行线相交意味着：ac 与平行线相交，或be 与平行线相交，所以有
至
2． 设
此
我
们
得
，
三
角
形
与
是来自
【答案】由于
所以
的值依赖于
它是的函数, 记为
其中值, 即
于是, 只
要
. 最小的常数为
就可保证对任意
的
有
表示N （0, 1）的密度函数, 由于
这说明
故
从而
为减函数, 并在
处取得最大于是,
其导函数为
的样本, 试确定最小的常数c , 使得对任意的
有
平
行
线
相
交
的
概
率
为
由蒲丰投针问题，只要将两条边与平行线相交的问题转化为每条边与平行线
分别为三条边a ，b ，c 与平行线相交的概率，则由蒲丰投针问题
相交的问题，为此又记
分别为两条边
3． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数如下, 试求（X , Y ）的协方差矩阵.
（1）
（2）
【答案】（1）因为
可分离变量, 所以X 与Y 相互独立, 由此知
又因为
所以
由此得（X , Y ）的协方差矩阵为
（2）利用
的对称性可得
所以
又因为
所以
由此得
的协方差矩阵为
4． 从数字0, 1, …, n 中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望.
【答案】记X 与Y 分别为第1次和第2次取出的数字, 则
所以
5． 假设有十只同种电器元件，其中有两只不合格品. 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的数学期望.
，i=l，2，3. 随机变量X 为“取到合格品之前，已【答案】记为“第i 次取m 的是合格品”取出的不合格品数”. 则
上述三个概率组成一个分布列，其数学期望为
6． 设
是来自对数级数分布
的一个样本，求参数p 的矩估计. 【答案】由于
因此有
从而得到p 的一个矩估计
7． 如果X 的密度函数为
试求
【答案】因为密度函数P （x ）的图形如图
.
图
因此所求概率为