2017年黑龙江科技大学4概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设二维随机变量
【答案】
的非零区域与
的交集为图阴影部分, 所以
的联合密度函数为
,
试求
图
2． 随机变量（X , Y ）服从以点（0, 1）, （1, 0）, （1, 1）为顶点的三角形区域上的均匀分布, 试求
和
【答案】记此三角形区域为D （如图阴影部分）
.
图
因为D 的面积为1/2, 所以（X , Y ）的联合密度函数为
下求X 和Y , 各自的边际密度函数. 当0 当0 即X 与Y 同分布. 因此由贝塔分布的期望、方差公式可知 由于X 与Y 不独立, 所以先计算 由此得 最后得 3． 设 是来自 的样本, 问n 多大时才能使得因而 所以 4． 设随机变量X 的密度函数为 试求以下Y 的密度函数： 【答案】（1）因为Y=2X+1的可能取值范围是其反函数为 及 . 且 是严格单调增函数， 所以Y 的密度函数为 （2 ）因为 及 的可能取值范围是 . 且 是严格单调增函数， 其反函数为 这给出 即n 至少为62时, 上述概率不等式成立. 成立？ 【答案】样本均值 所以Y 的密度函数为 （3）因为其反函数为 的可能取值范围是 及 且在上是严格单调増函数， 所以Y 的密度函数为 这是韦布尔（Weibull ）分布的特例. 一般韦布尔分布（记为 本题结论就是 5． 设总体为均匀分布 求θ的后验分布. 【答案】当联合分布为 其 中 或 此 处 观 测 值 为 它位于区间（10，16）内，故后验密度函数为 即θ的后验分布为U （11.1, 11.7）. 6． 设 是来自 【答案】由于 所以 的值依赖于 它是的函数, 记为 其中值, 即 于是, 只 要 . 最小的常数为 就可保证对任意 的 有 表示N （0, 1）的密度函数, 由于 这说明 故 从而 为减函数, 并在 处取得最大于是, 其导函数为 的样本, 试确定最小的常数c , 使得对任意的 有 i=l，2，3，10＜θ＜16，即 时， 的 时的韦布尔分布形（1/2，1）. 的先验分布是均匀分布U （10，16）. 现有三个观测值 ： ）的密度函数为 7． 一间宿舍内住有5位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率. 【答案】将此问题看成是：5个球放入12个盒子中去的盒子模型，由盒子模型可得 P （至少有2个人的生日在同一个月份）=1-p（5个人生日全不同月）