2017年湖北师范大学概率论与数理统计(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 某厂产品的不合格品率为0.03，现要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100件合格品，那么每箱至少应装多少件产品？
【答案】设每箱装l00+k件产品，则每箱中的不合格品数X 服从二项分布b （100+k，0.03）. 根据题意要求k ，使X 小于等于k 的概率至少为0.9，即式的
k
在此p=0.03，n=100+k较大，可用二项分布的泊松近似，得式可改写为
查泊松分布表得
故取k=5是恰当的，即每箱中装105件产品可使每箱中至少有100件合格品的概率不小于0.9.
2． 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布, 为了解其平均寿命, 从中抽出n 件产品测其实际使用寿命, 试说明什么是总体, 什么是样本, 并指出样本的分布.
; 【答案】总体是该厂生产的电容器的寿命全体, 或者可以说总体是指数分布, 其分布为Expa ）样本是该厂中抽出的n 个电容器的寿命；记第i 个电容器的寿命
为
样本
3． 设随机变量X 的密度函数为
如果已知E （X ）=0.5，试计算【答案】因为
联立（1），（2）解得a=6，b=-6.由此得
所以
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也就是求满足下述不等
于是上
则
的分布为其中.
4． 设随机变量X 满足
【答案】由，
已知
及题设条件
得
从中解得
（单位：g ），技术革新后，抽出6个零件，测得质量
已知方差不变，问平均质量是否仍为15g （取双侧假设检验问题，
检验的拒绝域为可算得，
由于
故有充分理由拒绝原假设，因而不能认为产品的平均质量仍为15g.
由
）？
查表知
使用样本数据
【答案】本题归结为对方差已知时检验正态总体均值μ=15的问题，而且这是，而且这是一个
5． 由经验知某零件质量为
试求
6． 甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军. 而每次比赛双方取胜的概率都是1/2，现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率.
【答案】记事件A ，B ，C 分别为“甲、乙、丙获冠军”，事件甲、乙、丙获胜”. 则
因为甲、乙两人所处地位是对称的，所以P （B ）=P（A ）=5/14. 由此又可得P （C ）=1-P（A ）-P （B ）=4/14=2/7.
即甲得冠军的概率5/14，乙得冠军的概率5/14，丙得冠军的概率2/7.
分别为“第i 局中
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7． 某种配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目分别是10，53，46. 按照某种遗传模型其频率之比应为
则要检验的假设为
此处
大似然法估计P . 其似然函数为
再微分法可得于是从而
查表知
能拒绝 8． 设试求概率
为独立同分布的随机变量, 共同分布为U （0, 5）. 其算术平均为
,
故拒绝域为
观察结果
不落在拒绝域，因此不
即可以认为数据与模型是相符的. 此处的P 值为
由于含有一个未知参数P ，需要将之估计出来，用最
，问数据与模型是否相符？
【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体可分为三类.
若记三类出现的概率分别为
【答案】由均匀分布U （0, 5）可算得
利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可得
这表明:来自均匀分布U （0, 5）的48个随机数的平均在2到3之间的概率近似为0.9836, 较接近于1.
二、证明题
9 来自正态总体．对称, 且
【答案】记正态分布的样本中位数
的密度函数为
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的容量为
的样本中位数是证明
的密度函数关于
f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（
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