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一、证明题

1． 证明:函数

有无穷多个极大值, 但无极小值. 【答案】

令

. 解方程组可得无穷多个驻点

此时

故f （x , y）在驻点当n 为奇数时, 驻点为f （x , y）在

处取得极大值, 极大值为

, 此时

处无极值. 综上知, f （x , y ）有无穷多个极大值, 但无极小值.

有n+1个相异的实根, 则方程

, 并且

至少有n 个相异实根. 上应用罗尔中值定理知, , 即

至少有n －1个相异实根. 如此继至少有一个实根.

, 其中等号仅在f （x ）为常

至少有一个

2． 证明:设f 为n 阶可导函数, 若方程实根.

【答案】设方程对f （x ）在区间存在再对存在续下去可得,

量函数时成立.

【答案】

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.

当n 为偶数时, 驻点为

的n+1个相异的实根为

使得

, 即

上应用罗尔中值定理知,

在n －1个区间

使得

至少有n －2个相异实根,

3． 设f （x ）在[a, b]上连续, 证明不等式

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其中

若等号成立, 则对任何即

、 , 有

,

所以f （x ）=f（y ）, 即f （x ）为常量函数.

4． 设f n （x ）是[0, 1]上连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于f （x ），

证明：

[0,

1]上连续，从而

故本题等价于证明

因为f

n （x ）在[0, 1]上一致收敛于f （x ）, 所以对任意的从而对任意的n ＞N 有

即

. 从而结论得证.

. 证明

:

【答案】由已知条件可知, f （x ）是

[a,

b]上的严格凹函数

. 设则必有

, 有

对上式两边在[a, b]上积分, 可得:

由于

从而, 对任意的

, 有

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.]

【答案】因为f

n （x ）是[0, 1]上的连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于f （x ），所以f （x ）在

，存在N ＞0使得

5． 设f （x ）在[a, b]上二阶可导, 且

是f （x

）的最大值点,

>0.由凹函数的性质,

对任意的

, 则

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6． 设

（1）（2）若

证明:

则

所以

【答案】（1）因为

又因为（2）因

为

于是

所以对

于

所以

存在N , 使得

当

时

,

即

因为 7． 设

【答案】（1）当

时, 由于

此即

（2）当

时, 由于

令而

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所以

用语言证明:

, 当

时, 有

则存在当时, 有