2018年天津财经大学应用数学601数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:函数f （x ）在区间上一致连续的充要条件是:
, 只要
【答案】只要
,
. 对上述,
从而, 尽管
相应地存在但
2． 证明定理:.
【答案】定理:
若
）时.
则对任给的
于是当
存在
.
使得当
时, 也有
则对任给的（即
取
3． 证明极限
存在.
有
令
则
【答案】由（1）的结果, 对每一
存在）时有
, 则当
. 使得
. 而当
（即时, 总有
故
）时有
’
&
即
同理可得
并且
满足
矛盾.
, 由
, 此即为
. 取
显然,
,
可知
, 就有
, 当nN 时, 有
因为f （x ）在上一致连续, 所以
, 就有
.
用反证法. 函数f （X ）在上不一致连续可表述为:
但
即由
有下界,
得
严格单调递减
, 根据单调有界定理, 知
存在.
4． 若在区间I 上, 对任何正整数
n ,
证明:当【答案】
因为及任意
在I 上一致收敛时, 级数有
从而由
, 得
所以, 由柯西准则知, 级数
5． 倘若例. ）
【答案】不一定. 如反例:设数列
为
为
是有界数列.
显然, 这两个数列都是无界数列, 但是
在I 上一致收敛.
是否必为无界数列? （若是, 需作证明
; 若否, 需给出反
在I 上也一致收敛.
总存在N>0
, 使得当
n>N时, 对任意
在I 上一致收敛, 故对任给的
收敛, 即
存在, 故
都是无界数列, 试问
二、解答题
6． 把函数
展开成傅里叶级数, 并由它推出
（1
）（2
）
（3）
【答案】
函数f 及其周期延拓函数的图像如图所示.
图
显见f （x ）在
内按段光滑, 由收敛定理,
f（x ）可展开为傅里叶级数, 因为
所以.
时
当x=0时
, 上式的右端收敛到0. （1）当
时, 由于
因此
（2）因为所以
（3）
时, 因
故
所以
7． 计算三重积分
, 其中是由曲面
与. 对积分
所围的区域.
采用“先二后一”的方
【答案】由于积分区域关于yOz 平面对称, 所以
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