当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

（1）（2）若

【答案】（1）因为同时, 存在正整数当

时

. , 令

, 则使得当

时,

, 于是, 当n>N时,

由于M 的任意性, 故

（2）因为于是

, 所以对一切由（1）的结论得

即

对于任给的

, 存在正整数, 使得当

时,

2． 设f （x ）在[a, b]上二阶连续可导, 证明:

【答案】记

. 取

, 由微分中值定理, 有

t

即

第 2 页，共 22 页

, 证明:

.

, 对于任给的M>0, 存在正整数, 使得当

,

时

.

, 存在正整数N , 使得当n>N时, . 即.

, 即, 所以

于是, 有

对上式两边, 分别关于x 1和x 2

在

和上积分, 可得

即

进而有

这就是所谓的内插不等式.

3． 证明:设

则

甶D 上无界的充要条件是存在

所以

当 有

使时, 有

【答案】充分性 因为这说明

在D 上无界.

在D 上无界, 所以

必要性 因为因此, 当取

时, 存在点

有这说明

4． 设u （x , y）在由封闭的光滑曲线L 所围成的区域D 上具有二阶连续偏导数. 证明:

其中

是u （x , y ）沿L 外法线方向n 的方向导数.

, 所以

因为

在D 上具有连续偏导数, 由格林公式得

故

5． 证明施瓦兹（Schwarz ）不等式:若f 和g 在[a, b]上可积, 则

f x ）【答案】若（与g （x ）可积, 则也可积,

第 3 页，共 22 页

【答案】因为

都可积, 且对任何实数t ,

又即

. 故

由此推得关于t 的二次三项式的判别式非正, 即

故

二、解答题

6． 设

【答案】因为

所以函数是连续的. 因为

所以函数是可微的.

7． 设

（1）垂直于x 轴； （2）平行于z 轴； （3）恒为零向量. 【答案】 （1）

第 4 页，共 22 页

，讨论函数的连续性和可微性.

试问在怎样的点集上gradu 分别满足:

由gradu 垂直于z 轴，而z 轴的方向向量是（0，0, 1）, 故