2018年北京林业大学林学院715数理统计(含概率论)之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体X 服从于证明：
【答案】由X 服从又则
又故 即证
是
的无偏估计量.
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
3． 设
是来自
的样本，证明
为
没有无偏估计.
的无偏估计，则
由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在因此，假不成立，即
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, 且分布、是
的无偏估计置.
其中分布可知, 是
的无偏估计量
为总体的样本,
2． 任意两事件之并
（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
【答案】（反证法）假设
处不存在导数.
没有无偏估计.
4． 设总体
证明:
【答案】大家知道:则
分别是
为样本，
分别为, 的无偏估计，设
的UMVUE.
是0的任一无偏估计，
*
即
将
式两端对求导，并注意到
有
这说明为证明是
，即
，于是
式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
这表明这就证明了是
由此可得到的UMVUE ,
若
其中
则
而
6． 设
正是泊松分布的特征函数，故得证.
是独立同分布的正值随机变量，证明:
【答案】记又因为
，则诸同分布，且由
，所以有
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，从而是的UMVUE.
的UMVUE ，我们将
，下一步，将式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
，因而
t
5． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布
则
【答案】二项分布因为
所以当
的特征函数为
时，
，知|
存在且相等，
由此得
7． （1）设分布函数
和
分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量，证明极差
的
其中与分别为总体的分布函数与密度函数.
时，样本极差
的分布函数.
与
的联合密度函数为
（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布【答案】（1）
做变换于是
与
其逆变换为
的联合密度为
雅可比行列式绝对值为
由此可以算得
的边际密度为
的分布函数为
（2）对于指数分布
由（1）中结果，有
8． 证明:对正态分布
，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在似然估计不存在.
时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大
二、计算题
9． 设
记【答案】
独立同分布服从
试找出与t 分布的联系，因而定出的密度函数.
的联合密度函数为
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