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一、计算题

1． 某地区一个月内发生重大交通事故数X 服从如下分布

表

1

试求该地区发生重大交通事故的月平均数. 【答案】

2． 将3个球随机地放入4个杯子中去，试求杯子中球的最大个数X 的概率分布.

【答案】X 的可能取值为1，2, 3, 因为3个球随机地放入4个杯子中，共有种可能情况，这是分母，若记事件A 为“X=l”，B 为“X=2”，C 为:“X=3”，可知A ，B ，C 互不相容，且其并为必然事件事件A 发生只能是:第1个球随机放入4个杯子中的任一个、第2个球随机放入余下的3个杯子中的任一个、第3个球随机放入余下的2个杯子中的任一个，这共有4x3x2种可能情况，所以

.

事件C 发生只有4种可能情况:3个球全部放在第一，或第二，或第三，或第四个杯子中，所以

又因为P （A ）+P（B ）+P（C ）=1，所以得

将以上结果列表为

表

1

3． 分别用随机投点法和平均值法计算下列定积分:

【答案】（1）随机投点法. 先用计算机产生（0, 1）上均匀分布的2n 个随机数（譬如

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），

构成n 个数对以记满足不等式然后对每个计算

平均值法. 先用计算机产生n 个

最后得

记的次数，则

的估计值为

上均匀分布的随机数

（2）对于第二个积分则其中构成n 个数对

此时有

先将其化成区间上的积分. 令

上均匀分布的

个随机数（譬如

平均值法. 先用计算机产生n 个然后对每个

计算

上均匀分布的随机数

最后得J 的估计值为

4． 由经验知某零件质量为

己知方差不变，问平均质量是否仍为15g （取【答案】

本题归结为对方差已知时检验正态总体均值检验问题，检验的拒绝域为得，

由于

5． 如果

试证: （1）（2）

【答案】（1）因为故当即

时，有

成立，进一步由

可得

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随机投点法. 先用计算机产生），

以记满足不等式的次数，则

（单位:g ），技术革新后，抽出6个零件，测得质量

）？

的问题，而且这是一个双侧假设

. 使用样本数据可算

，查表知

，由

故有充分理由拒绝原假设，因而不能认为产品的平均质量仍为15g.

所以又有成立.

（2）先证明使有这时有

对任意的取M 足够大（譬如）， 时，有

成立，对取定的M ，存在N ，当

从而有

由即

的任意性知

成立.

的分布列.

.

的可能取值也为0

同理可证

由上面（1）得

6． 设随机变量X , Y 独立同分布，在以下情况下求随机变量

（1）X 服从p=0.5的（0-1）分布. （2）X 服从几何分布，即

【答案】（1）因为X 与Y 的可能取值均为0或1，所以或1,

因此

（2）因为X 服从几何分布，所以

由此得

7． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有

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